미분 (Derivative)

개요

미분은 현대 과학과 공학의 핵심 도구이다. 특히 컴퓨터 과학에서는 다음과 같이 활용한다:

최적화: 경사하강법(Gradient Descent)의 기초
머신러닝: 역전파(Backpropagation) 알고리즘의 핵심
컴퓨터 그래픽스: 곡선과 표면의 부드러운 렌더링
수치해석: 미분방정식의 수치적 해법

다항함수의 미분 증명

Proof of Polynomial Differentiation

기본 정의

함수 가 점 에서 미분가능하다는 조건은 다음 극한이 존재함이다:

이 값을 에서의 도함수(derivative) 또는 미분계수라 한다.

단계 1: 상수함수의 미분

정리: (상수)일 때,

증명:

단계 2: 멱함수의 미분 (Power Rule)

정리: (단, )일 때,

증명:

이항정리를 적용하면:

여기서 는 이항계수이다.

전개하면:

따라서:

마지막 등식은 일 때 를 포함하는 모든 항이 0으로 수렴하기 때문이다.

단계 3: 선형성 (Linearity of Differentiation)

3.1 합의 법칙 (Sum Rule)

정리:

증명:

3.2 상수배의 법칙 (Constant Multiple Rule)

정리: (단, 는 상수)

증명:

단계 4: 다항함수의 미분

정리: 다항함수 에 대해:

증명: 위의 법칙들을 조합하면:

합 의 법 칙 상 수 배 법 칙 멱 의 법 칙

마지막 등식에서 항은 0이므로 합에서 제외한다.

컴퓨터 과학에서의 응용

1. 경사하강법 (Gradient Descent)

머신러닝에서 손실함수 를 최소화할 때 미분을 활용한다:

Python
JavaScript

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def gradient_descent(f, df, x0, learning_rate=0.01, iterations=100):
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    """
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    f: 목적함수
4
    df: f의 도함수
5
    x0: 초기값
6
    """
7
    x = x0
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    history = [x]
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    for _ in range(iterations):
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        grad = df(x)  # 미분 계산
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        x = x - learning_rate * grad  # 파라미터 업데이트
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        history.append(x)
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    return x, history
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17
# 예시: f(x) = x^2 - 4x + 4 최소화
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def f(x): return x**2 - 4*x + 4
19
def df(x): return 2*x - 4  # 도함수
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minimum, path = gradient_descent(f, df, x0=0)
22
print(f"최솟값 위치: {minimum}")  # 2에 수렴

function gradientDescent(f, df, x0, learningRate = 0.01, iterations = 100) {
    let x = x0;
    const history = [x];

    for (let i = 0; i < iterations; i++) {
        const grad = df(x);  // 미분 계산
        x = x - learningRate * grad;  // 파라미터 업데이트
        history.push(x);
    }

    return { minimum: x, history };
}

// 예시: f(x) = x^2 - 4x + 4 최소화
const f = x => x**2 - 4*x + 4;
const df = x => 2*x - 4;  // 도함수

const result = gradientDescent(f, df, 0);
console.log(`최솟값 위치: ${result.minimum}`);  // 2에 수렴

2. 자동 미분 (Automatic Differentiation)

현대 딥러닝 프레임워크는 자동으로 도함수를 계산한다:

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import torch
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# PyTorch의 자동 미분
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x = torch.tensor([2.0], requires_grad=True)
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y = x**3 - 2*x**2 + x - 1  # f(x) = x³ - 2x² + x - 1
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y.backward()  # 자동으로 dy/dx 계산
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print(f"x=2에서의 도함수: {x.grad}")  # f'(2) = 3(2)² - 4(2) + 1 = 5

3. 수치 미분 vs 해석적 미분

비교

방법	장점	단점
수치 미분	구현 간단, 모든 함수 가능	오차 발생, 계산 비용 높음
해석적 미분	정확, 빠름	수식 필요, 복잡한 함수 어려움
자동 미분	정확, 복잡한 함수 가능	메모리 사용량 증가

4. 실제 구현: 다항식 클래스

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class Polynomial:
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    """다항식과 그 도함수를 다루는 클래스"""
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4
    def __init__(self, coefficients):
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        """
6
        coefficients: [a0, a1, a2, ...] for a0 + a1*x + a2*x^2 + ...
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        """
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        self.coeffs = coefficients
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    def __call__(self, x):
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        """다항식 값 계산"""
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        return sum(coeff * x**i for i, coeff in enumerate(self.coeffs))
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    def derivative(self):
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        """도함수 반환"""
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        if len(self.coeffs) <= 1:
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            return Polynomial([0])
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        new_coeffs = [i * coeff for i, coeff in enumerate(self.coeffs)][1:]
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        return Polynomial(new_coeffs)
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    def __str__(self):
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        terms = []
24
        for i, coeff in enumerate(self.coeffs):
25
            if coeff != 0:
26
                if i == 0:
27
                    terms.append(str(coeff))
28
                elif i == 1:
29
                    terms.append(f"{coeff}x")
30
                else:
31
                    terms.append(f"{coeff}x^{i}")
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        return " + ".join(terms) if terms else "0"
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# 사용 예시
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p = Polynomial([1, -2, 3])  # 1 - 2x + 3x^2
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print(f"P(x) = {p}")
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print(f"P'(x) = {p.derivative()}")  # -2 + 6x
38
print(f"P(2) = {p(2)}")  # 9
39
print(f"P'(2) = {p.derivative()(2)}")  # 10

추가 고려사항

일반화와 확장

이 문서에서 다룬 멱의 법칙은 양의 정수 에 대해 증명하였다. 이 결과는 다음과 같이 확장할 수 있다:

음의 정수 지수: 에 대해 연쇄법칙 적용
유리수 지수: 에 대해 음함수 미분 적용
실수 지수: 지수함수와 로그함수를 통한 일반화

계산 복잡도 관점

다항함수의 미분은 계수만 조정하므로 시간에 계산한다. 이는 수치 미분의 보다 효율적이다.

참고 자료

Wikipedia | “Derivative"
"The derivative … is the slope of the tangent line …"
"Derivatives can be generalized to functions …” ↩
Wikipedia | “Differential (mathematics)"
"… refer to an infinitesimal (“infinitely small”) change …” ↩