편미분의 진화사

부제: 단순한 표기법에서 종속성의 해법으로

1. 개념의 탄생과 극심했던 ‘표기 혼란’ (1740년대)

최초로 편미분의 개념을 다룬 사람들은 18세기의 거장 장 르 롱 달랑베르(Jean le Rond d’Alembert)와 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)다.

1746년, 달랑베르는 진동하는 기타 줄을 설명하기 위해 1차원 파동 방정식을 도출하며 공간()과 시간()이라는 두 개의 독립 변수를 다루게 된다.¹ 하지만 이때는 기호가 세상에 없었다. 달랑베르와 오일러는 ‘다른 변수를 고정한다’는 개념을 머릿속으로는 알고 있었지만, 수식에는 상미분과 똑같이 를 사용했다.

수식을 읽는 사람들은 이것이 1변수 함수의 완전한 미분(상미분)인지, 다변수 함수에서 하나만 고정하고 뜯어본 것인지 문맥을 보고 눈치껏 파악해야만 했다. “표기를 달리해야 할 필요성”이 수학계에 절실히 대두된 시기다.

2. 순수한 표기법으로서 기호의 등장 (1770년 ~ 1841년)

극심한 혼란을 해결하기 위해 마침내 새로운 기호가 발명된다.

1770년, 프랑스의 수학자 마르키 드 콩도르세(Marquis de Condorcet)가 자신의 논문에서 처음으로 편미분을 상미분 와 구분하기 위해 끝이 둥근 기호를 고안해 사용했고, 1786년 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)도 이를 차용했다.²

이 기호를 전 세계 수학계의 표준으로 굳혀버린 사람은 카를 구스타프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi)다. 그는 1841년 논문에서 이 기호를 대대적으로 부활시키며 그 유명한 ‘야코비안(Jacobian) 행렬’을 정립한다.²

야코비가 다루던 변수들은 여전히 서로 독립적인 환경이 주를 이루었다. 즉, 이때 기호가 널리 퍼진 결정적 이유는 “상미분 기호 와 헷갈리니까 확실하게 구분하자”는 표기법적 목적이 가장 컸다.

3. 종속성 문제를 해결하는 무기로의 진화: 열역학의 태동 (19세기 중후반)

단순한 표기법이었던 편미분이 ‘실제 종속성이 존재하는 환경을 통제하는 강력한 무기’로 위상이 바뀐 것은 19세기 물리학(열역학)의 발전 덕분이다.

19세기 중후반, 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)과 조제프 윌러드 기브스(Josiah Willard Gibbs) 등이 열역학을 수학적으로 정립하기 시작한다. 열역학 시스템의 변수들(압력 , 부피 , 온도 , 엔트로피 )은 독립적이지 않고 상태 방정식으로 꽉 묶여 있었다.

맥스웰과 기브스는 “변수들이 얽혀있다면, 수학적으로 특정 변수를 강제로 고정시킨 상태의 편미분을 구한 뒤 전미분으로 조립하자”는 방식을 열역학 분석의 핵심 방법론으로 채택한다. 특히 1871년 맥스웰이 자신의 저서 《Theory of Heat》에서 ‘맥스웰 관계식(Maxwell relations)‘을 발표한 것을 기점으로,³ 종속성이 있는 환경에서는 “무엇을 고정했는가”가 너무나 중요해졌기 때문에 괄호와 아래첨자를 사용하는 표기법까지 새로 만들어지게 된다.

(위 수식의 의미: 통제 가능한 다른 상태 변수(예: 엔트로피 )가 아닌 명확하게 ‘부피 ‘만을 고정해 둔 상태에서, 온도() 변화가 압력()에 미치는 순수한 변화율)

결론

기호 의 탄생은 학자들 간의 커뮤니케이션 오해(와의 혼용)를 막기 위한 ‘표기법의 분리’에서 출발한 것이 역사적 팩트다. 그리고 그 깐깐하게 분리해 둔 표기법이 반세기 뒤 열역학이라는 복잡한 시스템을 역공학하는 필수적인 분석 도구로 완벽하게 쓰이게 된 것이다.

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Footnotes

1. Wikipedia. “Differential equation”.
   1746년 d’Alembert의 1차원 파동 방정식 발견 ↩

2. Wikipedia. “Partial derivative”.
   1770년 Condorcet의 기호 최초 고안 및 1841년 Jacobi의 표준화 ↩ ↩²

3. Wikipedia. “1871 in science”.
   1871년 맥스웰의 Theory of Heat 출판 및 맥스웰 관계식 정립 ↩